Infinite Cartesian Products

其实只是 Terence Tao 大神的定义写得稍微有一点绕，整体还是好理解的。

Wikipedia: Sequence

Formally, a sequence can be defined as a function whose domain is either the set of the natural numbers (for infinite sequences) or the set of the first n natural numbers (for a sequence of finite length $n$)

也就是说，sequence $(a_i{)}_{i\in I}$ 和 function $f:I\to \{a_i\mid i\in I\}$ 是等价的。$f:i\mapsto a_i$ 也就是 $(a_i{)}_{i\in I}$.

Axiom 3.10 (Power set axiom). Let $X$ and $Y$ be sets. Then there exists a set, denoted $Y^X$, which consists of all the functions from $X$ to $Y$, thus

• 亦即 $Y^X=\{f\mid f\text{ is a function with domain }X\text{ and range }Y\}$
• 注意是 “以 $Y$ 为 range” 而不是 “以 $Y$ 为 codomain”

你结合上面 sequence 的结论就可以看出，$Y^X$ 其实也可看成是一个 sequence 的集合。大神 infinite Cartesian products 的定义就这么写的：

Definition 8.4.1 (Infinite Cartesian products). Let I be an index set (possibly infinite), and for each $i\in I$ let $X_i$ be a set. We then define the Cartesian product $\prod _{i\in I}{X}_i$ to be the set

这个定义是兼容 “有限笛卡尔积” 的。举个例子：$X_1=\{a_3\},X_2=\{a_2\},X_3=\{a_1\}$。明显 $X_1\times X_2\times X_3=\{(a_3,a_2,a_1)\}$ 就这么一种组合。按照上面的定义：

• $I=\{1,2,3\}$
• $\underset{j\in I}{\cup }{X}_j=\{a_1,a_2,a_3\}$
• $(\underset{j\in I}{\cup }{X}_j{)}^I$ 是所有 $f:\{1,2,3\}\to \{a_1,a_2,a_3\}$ 的集合
• 条件 $\mathrm{\forall }i\in I,x_i\in X_i$ 其实应该理解为 $\mathrm{\forall }i\in I,f(i)\in X_i$。这样的 $f$ 只有一个，即 $f(1)=x_1=a_3,f(2)=x_2=a_3,f(3)=x_3=a_1$
• 这个 $f$ 亦即 sequence $(a_3,a_2,a_1)$