Minimum vs Minimal w.r.t. generalized inequality

假定有一个 proper cone $K$，它定义了一个 generalized inequality 关系 ${⪯}_K$。

注意 generalized inequality $⪯$ 与 $\mathbb{R}$ 上的 $\le$ 的最大的一个区别在于：

• $\mathbb{R}$ 上的 $\le$ 是一个 linear ordering (线性序)，也就是说 $\mathrm{\forall }x,y$，要么 $x\le y$ 要么 $y\le x$，总有一个成立
• $⪯$ 可能出现 “不可比” 的情况，即 $x⋠y$ 但同时 $y⋠x$

这个区别是 minimum 与 minimal 区别的根本原因。看定义：

• 如果 $\mathrm{\exists }x\in S:\mathrm{\forall }y:x{⪯}_{K}y$，我们称 $x$ 是 $S$ 的 minimum (w.r.t. ${⪯}_K$，下同，省略)
• 如果 $\mathrm{\exists }x\in S$ 使得 $\mathrm{\forall }y{⪯}_{K}x\Rightarrow y=x$，我们称 $x$ 是 $S$ 的 minimal element

这俩的区别在于：

• $x$ is minimum：$S$ 内所有元素皆与 $x$ “可比”，且小于等于 $x$
  • 亦即不存在与 $x$ “不可比” 的元素
• $x$ is minimal：$S$ 内所有与 $x$ “可比” 的元素皆小于等于 $x$
  • 所以可能存在与 $x$ “不可比” 的元素
  • 一个极端的情况：如果 $S$ 内除了 $x$ 以外的所有元素都与 $x$ “不可比”，那么按照定义，$x$ 也是 minimal
• 用英语描述的话：
  • minimum 是 “I am definitely the smallest”
  • minimal 是 “Nothing is smaller than me”

性质：

• $S$ 上可能有多个 minimal，但是只可能有一个 minimum
• Minimum 必定是 minimal，反之不成立
• 对 $\mathbb{R}$ 上的 $\le$ 而言，minimum 和 minimal 等价 (这条性质应该对 linear ordering 都有效)

Dr. Robert Harron 在 Quora 上举了个很好的例子：假设 $S$ 是所有大于等于 2 的整数的集合，$x⪯y⟺x\text{ divides }y$ ($x$ 可以整除 $y$；$y$ 可以被 $x$ 整除)，那么所有的 prime number 都是 minimal，不存在 minimum