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这些个术语总是见到,也总是记不住……

domain / range codomain / image (set of f(x)) / preimage (set of x)Permalink

假定有 f:XY

X 称为 domain (domain of definition,定义域),Y 称为 codomain (上域、陪域或者到达域)

  • 一般 domain 和 codomain 都是 space,但是你也可以自定义为任意的 set

image 有三个级别:

  • image of an element: if xX, then y=f(x)Y is the image of x under f
  • image of an subset: for subset AX, its image under f is {f(x)xA}
  • image of a function: {f(x)xX}
    • 这个集合我们中文称值域,也有翻译成 range 的;需要注意的是:值域并不是 Y
    • Just forget about this translation; it’s confusing

对应的有 inverse image,或者称 preimage

  • yY, its inverse image under f is x such that f(x)=y
  • SY, its inverse image under f is {xf(x)=y,yS}
  • preimage of a function 这个叫法没有意义,它其实就是 domain X

Injective, surjective and bijective functionsPermalink

我们即可以说 f is injective / surjective / bijective,也可以说 f is an injection / surjection / bijection

  • injective == 单射
  • surjective == 满射
  • bijective == 双射

概念挺简单,我大概 15 年前就学会了,但是这三个词真的是难记,这里简单说一下:

  • 这三个词的原作者,Nicolas Bourbaki,显然是把 f:XY 看做了一种类似 “转移” 的动作。”ject” 的原意是 “to throw”,所以 f:XY 大概就是 “把 X 转移到另外一个集合里,这个集合我们称作 Y
  • injection 的话,”注入”,你联想到 “皮下注射” 的话,可以发现 这个转移的过程是没有 X 的损失的,给你开了 50 ml 的药,注射到你皮下还是 50 ml
    • 如果有损失的话,那成了 “squeeze”
  • surjection 的话,这个 “sur-“ 表示 “on, over”,我觉得你可以解释为 “被动“,即 “我的 Y 是被 inject 进来的“,亦即存在一个 XX 以及一个对应的 injection,把 X inject 过来,就成了 Y
    • 至于 XX 中的元素是怎么联系到 Y 的,这个问题我 XY 的 injection 并不需要关心
  • 这么一来,bijection 就好理解了:
    1. 我的 X 没有损失,我有 nx 就对应 ny
    2. 我的 Y 全部来自 injection,所以不存在 y 找不到 injection 的来源

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