Terminology Recap: Functions
这些个术语总是见到,也总是记不住……
domain / range codomain / image (set of ) / preimage (set of )Permalink
假定有
- 一般 domain 和 codomain 都是 space,但是你也可以自定义为任意的 set
image 有三个级别:
- image of an element: if
, then is the image of under - image of an subset: for subset
, its image under is - image of a function:
- 这个集合我们中文称值域,也有翻译成 range 的;需要注意的是:值域并不是
- Just forget about this translation; it’s confusing
- 这个集合我们中文称值域,也有翻译成 range 的;需要注意的是:值域并不是
对应的有 inverse image,或者称 preimage:
- 对
, its inverse image under is such that - 对
, its inverse image under is - preimage of a function 这个叫法没有意义,它其实就是 domain
Injective, surjective and bijective functionsPermalink
我们即可以说
- injective == 单射
- surjective == 满射
- bijective == 双射
概念挺简单,我大概 15 年前就学会了,但是这三个词真的是难记,这里简单说一下:
- 这三个词的原作者,Nicolas Bourbaki,显然是把
看做了一种类似 “转移” 的动作。”ject” 的原意是 “to throw”,所以 大概就是 “把 转移到另外一个集合里,这个集合我们称作 ” - injection 的话,”注入”,你联想到 “皮下注射” 的话,可以发现 这个转移的过程是没有
的损失的,给你开了 50 ml 的药,注射到你皮下还是 50 ml- 如果有损失的话,那成了 “squeeze”
- surjection 的话,这个 “sur-“ 表示 “on, over”,我觉得你可以解释为 “被动“,即 “我的
是被 inject 进来的“,亦即存在一个 以及一个对应的 injection,把 inject 过来,就成了- 至于
中的元素是怎么联系到 的,这个问题我 的 injection 并不需要关心
- 至于
- 这么一来,bijection 就好理解了:
- 我的
没有损失,我有 个 就对应 个 - 我的
全部来自 injection,所以不存在 找不到 injection 的来源
- 我的
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