Gradient Field
Gradient Field: a better way to interpretPermalink
Gradient and Directional Derivative 举了
换成 Gradient Field 去理解就轻松很多。
从 gradient 的定义来看,它天生是一个 vector field。需要注意的是,我们并不需要先有一个函数
还是用
VectorPlot[{8x, 2y}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]
定义椭圆
考虑 3-D space 内的椭圆抛物面。这时需要把几何方程
VectorPlot3D[{8x, 2y, 0}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -3, 3}]
同理,定义椭圆抛物面
如果从
# Wolfram 类似 IPython Notebook,`%2`表示第二个 cell 的 output,即上图
Show[%2,ViewPoint->{0,0,\[Infinity]}]
它和
从这个视角来看,考虑 gradient 的几何意义:gradient vector 的方向是 “the direction of steepest ascending”,即你站在
优化问题里用的 gradient descend 即是取 gradient vector 的反方向,进而取更小的
Clairaut’s TestPermalink
Given a vector field
Clairaut Test: if
Note that
Clairaut’s Test orginates from Clairaut’s theorem on equality of mixed partials:
Suppose
高维的情况暂不考虑;但应该类似。
Hamiltonian Vector FieldPermalink
Quote from Lecture 19: Vectorfields, Math S21a: Multivariable calculus by Oliver Knill, Harvard Summer School:
If
An example is the harmonic oscillator
The flow lines of a Hamiltonian vector fields are located on the level curves of
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