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Vector Space

我们在 Digest of Essence of Linear Algebra 的末尾提了一嘴,但没有说严格的数学定义,这里补充一下。

Definition: A vector space $S$ over a scalar field $K$, is a non-empty set of vectors $V$ equipped with vector addition $+: V \times V \to V$ and scalar multiplication $\cdot: K \times V \to V$, which satisfy the two closure axioms $C1, C2$ as well as the eight vector space axioms $A1 - A8$:

  • $C1$ (Closure under vector addition) Given $\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in V$, $\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w} \in V$
  • $C2$ (Closure under scalar multiplication) Given $\boldsymbol{v} \in V$ and $\alpha \in K$, $\alpha \boldsymbol{v} \in V$

For arbitrary vectors $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in V$, and arbitrary scalars $\alpha, \beta \in K$:

  • $A1$ (Commutativity of addition) $\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w} = \boldsymbol{w} + \boldsymbol{v}$
  • $A2$ (Associativity of addition) $(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) + \boldsymbol{w} = \boldsymbol{u} + (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w})$
  • $A3$ (Existence of a zero vector) $\exists \vec{0} \in V$ such that $\vec{0} + \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} + \vec{0} = \boldsymbol{v}$
  • $A4$ (Existence of additive inverses) $\forall \boldsymbol{v} \in V$, $\exists \boldsymbol{-v} \in V$ such that $\boldsymbol{v} + (\boldsymbol{-v}) = (\boldsymbol{-v}) + \boldsymbol{v} = \vec{0}$
  • $A5$ (Distributivity of scalar multiplication over vector addition) $\alpha (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}) = \alpha \boldsymbol{v} + \alpha \boldsymbol{w}$
  • $A6$ (Distributivity of scalar addition over scalar multiplication) $(\alpha+\beta) \boldsymbol{v} = \alpha \boldsymbol{v} + \beta\boldsymbol{v}$
  • $A7$ (Associativity of scalar multiplication) $(\alpha \beta) \boldsymbol{v} = \alpha (\beta \boldsymbol{v})$
  • $A8$ (Scalar multiplication with 1 is the identity) $1 \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}$

注意:

  • 最常见的 $K$ 即是 $\mathbb{R}$,但也可以是任何抽象的 field,只要满足 axioms 即可

如果我们把 vector space $S$ 写成 $(S, \times, \cdot)$ w.r.t. $V,K$,似乎可以讨论下 $S$ 属于哪种 Elementary Algebraic Structures:

  • 如果 $V \neq K$:
    • 那么 $\cdot: K \times V \to V$ 这个 operator 就不满足最基础的 Monoid 的要求,所以 $(S, \cdot, 1)$ 就啥也不是
    • 但是 $(S, +, \vec{0})$ 构成 Abelian Group
  • 如果 $V = K$:
    • 有点难 argue $(S \setminus \lbrace \vec{0} \rbrace, \cdot, \vec{1})$ 构成 Abelian Group
      • 所以很难说 vector space 能构成 field
    • 但如果你反过来看,任意的 field $K$ 都能构成一个 vector space $(S, \times, \cdot)$ w.r.t. $K,K$
      • 我们总结成:Any field is a vector space over itself.

Vector Field

定义

首先注意 vector field 和 algebraic structures 中的 field 不相干,它纯纯就是个函数。

\[\newcommand{\icol}[1]{ \bigl[ \begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix} \bigr] }\]

Quote from Lecture 19: Vectorfields, Math S21a: Multivariable calculus by Oliver Knill, Harvard Summer School:

A vector field in a 2D plane is a function, which maps each point $(x, y)$ to a vector $\vec F(x, y) = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle = \icol{P(x, y) \newline Q(x, y)}$.

A vector field in a 3D space is a function, which maps each point $(x, y, z)$ to a vector $\vec F(x, y, z) = \langle P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) \rangle = \icol{P(x, y, z) \newline Q(x, y, z) \newline R(x, y, z)}$.

关于 $P,Q,R$ 的定义:

  • 以 2D 的情况为例,假定 $x,y \in \mathbb{R}$,那么 $P: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
  • 也就是说,输入一个 point $(x,y)$,$\vec F$ 会输出一个新的点 $(P(x, y), Q(x, y))$
    • 也可以理解成输出一个新的 vector $\icol{P(x, y) \newline Q(x, y)}$

注意 “point” 和 “vector” 的等价性,我们可以简单理解成:Given a vector space $S$, a vector field is a function $\vec{F}: S \to S$,可以解读成:

  • $\vec{F}: \text{point} \to \text{point}$
  • $\vec{F}: \text{point} \to \text{vector}$
  • $\vec{F}: \text{vector} \to \text{vector}$
  • $\vec{F}: \text{vector} \to \text{point}$

举例

似乎把 $\vec F$ 理解成 $\vec{F}: \text{point} \to \text{vector}$ 是最直观的,physics 中有很多应用。

我自己做了一个例子:想象 $x^2 + y^2 = 1$ 这个圆在顺时针转动(圆心不动),每个点都沿切线有一个速度,这个切线速度我们用一个单位向量表示(暂不考虑向量长度的物理意义)。考虑圆与 axes 的 4 个交点:

  • $\vec F(1, 0) = \langle 0, -1 \rangle = \icol{0 \newline -1}$
  • $\vec F(0, 1) = \langle 1, 0 \rangle = \icol{1 \newline 0}$
  • $\vec F(-1, 0) = \langle 0, 1 \rangle = \icol{0 \newline 1}$
  • $\vec F(0, -1) = \langle -1, 0 \rangle = \icol{-1 \newline 0}$

我们把这 4 个向量分别移动到对应的 4 个交点上(起点重合),可以得到:

这个 vector field 的定义可以归纳为 $\vec F(x, y) = \langle y, -x \rangle = \icol{y \newline -x}$。如果限定 $\vec F$ 的 domain 为 $\lbrace (x, y) \mid x^2 + y^2 = 1 \rbrace$,那么 $\vec F$ 的 image 就是圆上所有顺时针切线单位向量的集合。

如果不限定 domain,我们用 Wolfram 画一下:

VectorPlot[{y, -x}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

可见向量的长度其实是有实际意义的。不过很多 vector field 的示意图里,由于 magnitude 的问题,向量经常画成统一的长度,然后用颜色来表示向量的长度级别。

其实这个概念你联系物理应用就很好理解。磁场 (Magnetic Field)、洋流 (Ocean Current)、风向以及其他各种流体力学,比如风洞 (Wind Tunnel) 测试,都可以用 vector field 表示:

所以 vector field 无非是用向量表示空间内每个点的 “运动趋势”,只是 $\vec F(\dots)$ 这个向量需要移动到对应的点上。

  • 从这个角度来看,linear transformation 与 vector field 的区别在于:$A \vec x$ 并没有移动到 $\vec x$ 的终点上,而是仍然以原点为起点。

升维或者降维的 vector field

我们前面说 vector field 可以简单理解成 function $\vec{F}: S \to S$,是假设了 $\vec{F}$ 没有改变维度,这也是 physics 中最常见的情况。

但升维或者降维的 vector field 也是存在的,i.e. $\vec{F}: S \to S’$ where $S$ 和 $S’$ 的维度不同

Scalar Field $\vec{F}: S \to \mathbb{R}$ 即是一种降维的 vector field:

  • $S$ 是二维
  • $\mathbb{R}$ 是一维

升维的 vector field 会有很神奇的拓扑变形效果,比如 YouTube: Transformations, part 3 | Multivariable calculus | Khan Academy 介绍的这个:

\[\vec F(t, s) = \icol{3\cos(t) + \cos(t)\cos(s) \newline 3\sin(t) + \sin(t)\cos(s) \newline \sin(s)}\]

限定 $0 \leq t \leq 2 \pi, 0 \leq s \leq 2 \pi$,可以从一个正方形变形成一个 donut。

Continuous Vector Field

Quote from Wikipedia: Vector field:

If each component of $\vec F$ is continuous, then $\vec F$ is a continuous vector field, and more generally $\vec F$ is a $C^k$ vector field if each component of $\vec F$ is $k$ times continuously differentiable.

Scalar Field

A scalar field in a space is a function mapping each point $(x, y, z, \dots)$ to a scalar.

典型的应用:heat map

注意要与曲线方程区别。比如 $y = x$ 是对角直线,和 field $F(x, y) = x - y$ 是不同的,后者是 heat map,只是对角线上的值为 0:

DensityPlot[x-y,{x,-10000,10000},{y,-10000,10000}]

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